已知函数f（x）=（x+1）lnx．
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发布时间：2025-06-17 08:15:29
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答案：（本小题满分12分）（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分）∵f′(x)=lnx+1+xx，∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分）故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．…-（6分）（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以1+x1-x•lnx＜0．①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分）②当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜-2，得lnx+2a(1-x)1+x＜0．设h(x)=lnx+2a(1-x)1+x，则x∈（0，1），h（x）＜0.h′(x)=x2+(2-4a)x+1x(1+x)2．设m（x）=x2+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，又h（1）=0，所以x∈（x0，1），h（x）＞0．综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）
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