已知椭圆4x2 y2=1及直线y=x m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
已知椭圆4x2 y2=1及直线y=x m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
发布时间：2025-07-26 14:08:35
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答案：（1）由
得5x2 2mx m2-1=0，当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2 5≥0，解得-
≤m≤
，所以实数m的取值范围是-
≤m≤
；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，x1 x2=-
，x1x2=
，所以弦长 |AB|=
|x1-x2|=
•
=
•
=
，当m=0时 |AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
得5x2 2mx m2-1=0，当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2 5≥0，解得-≤m≤，所以实数m的取值范围是-≤m≤；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，x1 x2=-，x1x2=，所以弦长 |AB|=|x1-x2|=•=•=，当m=0时 |AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
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