柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式6个基本公式和例题
发布时间：2025-05-25 11:27:33
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答案：柯西不等式的基本形式有以下几种：
1. \((a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2\)
2. \(\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)
3. \(\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|\right)^2 \leq n \sum_{i=1}^{n} a_i^2\)
4. \(\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i b_i|\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)
5. \(\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2\)
6. \(\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|\right)^2 \geq \sum_{i=1}^{n} a_i^2\)
例题：
设 \(a_1, a_2, b_1, b_2\) 为实数，证明 \((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2\)。
证明：根据柯西不等式的基本形式1，直接应用即可得到证明。
