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如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点
A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

发布时间：2025-05-10 19:20:19

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答案：（1）当点A在原点时，如图1，AC在y轴上，BC⊥y轴，所以点B的坐标是（2，2）．（2）当OA=OC时，如图2， △OAC是等腰直角三角形，AC=2，所以∠OAC=∠OCA=45°， OA=OC= 2 ， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2， ∴AB= AC 2 BC 2 = 2 2 2 2 =2 2 ，∠CAB=45°， ∴∠OAB=∠CAB ∠OAC=45° 45°=90°， ∴ OB= (2 2 ) 2 ( 2 ) 2 = 10 ．（3）如图3，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以 OE= 1 2 AC=1 ，在△ACB中，BC=2， CE= 1 2 AC=1 ，所以 BE= 5 ；若点O，E，B不在一条直线上，则 OB＜OE BE=1 5 ．若点O，E，B在一条直线上，则 OB=OE BE=1 5 ，所以当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 1 5 ．

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