设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x) x 1>0,求k的最大值.
设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x) x 1>0,求k的最大值.
发布时间：2026-01-12 23:58:15
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答案：[答案](1)f(x)的定义域为(-∞, ∞),f′(x)=ex-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞, ∞)上单调递增;若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当x∈(ln a, ∞)时,f′(x)>0,所以,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a, ∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x) x 1=(x-k)(ex-1) x 1.故当x>0时,(x-k)f′(x) x 1>0等价于k<
x(x>0).①令g(x)=
x,则g′(x)=
1=
.由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0, ∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0, ∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0, ∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α, ∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0, ∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α 2,所以g(α)=α 1∈(2,3).由于①式等价于k
x(x>0).①令g(x)= x,则g′(x)= 1=.由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0, ∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0, ∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0, ∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α, ∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0, ∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α 2,所以g(α)=α 1∈(2,3).由于①式等价于k
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