证明10阶交换群必是循环群
证明10阶交换群必是循环群
发布时间：2025-07-05 15:16:50
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答案：设G是一个10阶交换群. 根据Lagrange定理, G中元素的阶是10的因数, 即只能是1,2,5,10. 若G中除了单位元e外全是2阶元, 则任取a, b G, 且a1b, a1e, b1e. 则易知H={e, a, b, ab}是G的一个4阶子群, 但 |G|=10不是4的倍数,与Lagrange定理矛盾. 从而G中两个以上的2阶元. 若G中除了单位元e外全是5阶元, 则a是一个5阶元, 则={e, a, a 2 , a 3 , a 4 } 是G的一个5阶子群, 再取一个b G, 并且b , 于是={e, b, b 2 , b 3 , b 4 }也是 G的一个5阶子群, 且Ç={e}.易知ab1a 2 b, 且ab, a 2 bÏÈ. 于是 |{ab, a 2 b}ÈÈ|=11.这与 |G|=10矛盾, 因此G必有2阶元a和5阶元b,从而由G是交换群知道,ord(ab)=[orda, ordb]=10,因此G=
