已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2-2x
已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2-2x
发布时间：2025-07-01 03:39:49
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答案：（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）所以h′（x）=1x+1-1=-xx+1，当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．故当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2．（2）∵xf（x）+3g′（x）+4=xlnx+3（x-2）+4=xlnx+3x-2，∴当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4可化为k＜xlnx+3x-2x-1=xlnx+xx-1+2，所以不等式转化为k＜xlnx+xx-1+2对任意x＞1恒成立．令p（x）=xlnx+xx-1+2，则p′（x）=x-lnx-2(x-1)2，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-1x=x-1x＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）=xlnx+xx-1+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．所以[p(x)]min=p(x0)=x0lnx0+x0x0-1+2=x0(lnx0+1)x0-1+2=x0(x0-2+1)x0-1+2=x0+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min=x0+2∈（5，6）故整数k的最大值是5．
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