如图1,已知抛物线y=﹣x2 bx c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P是抛物线上一动点,试过点P作x轴的垂线1,再过点A作1的垂线,垂足为Q,连接AP.(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标;(2)若△AQP∽△AOC,求点P的横坐标;(3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q′,请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标.https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/bd315c6034a85edfea3ced4259540923dd54751a.jpg
如图1,已知抛物线y=﹣x2 bx c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P是抛物线上一动点,试过点P作x轴的垂线1,再过点A作1的垂线,垂足为Q,连接AP.(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标;(2)若△AQP∽△AOC,求点P的横坐标;(3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q′,请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标.https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/bd315c6034a85edfea3ced4259540923dd54751a.jpg
发布时间：2025-06-19 20:01:27
或
.(3)点P的坐标为(4,0)或(5,﹣6)或(2,6).[解析][分析](1)利用待定系数法求抛物线解析式,然后利用抛物线解析式得到一元二次方程,通过解一元二次方程得到C点坐标;(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ,设P(m,﹣m2 3m 4),所以m=4|4﹣(﹣m2 3m 4|,然后解方程4(m2﹣3m)=m和方程4(m2﹣3m)=﹣m得P点坐标;(3)设P(m,﹣m2 3m 4)(m>
),当点Q′落在x轴上,延长QP交x轴于H,如图2,则PQ=m2﹣3m,证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,利用相似比得到Q′B=4m﹣12,则OQ′=12﹣3m,在Rt△AOQ′中,利用勾股定理得到方程42 (12﹣3m)2=m2,然后解方程求出m得到此时P点坐标;当点Q′落在y轴上,易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形,利用PQ=PQ′得到 |m2﹣3m|=m,然后解方程m2﹣3m=m和方程m2﹣3m=﹣m得此时P点坐标.[详解]解:(1)把A(0,4),B(4,0)分别代入y=﹣x2 bx c得
,解得
,∴抛物线解析式为y=﹣x2 3x 4,当y=0时,﹣x2 3x 4=0,解得x1=﹣1,x2=4,∴C(﹣1,0);故答案为y=﹣x2 3x 4;(﹣1,0);(2)∵△AQP∽△AOC,∴
,∴
,即AQ=4PQ,设P(m,﹣m2 3m 4),∴m=4|4﹣(﹣m2 3m 4|,即4|m2﹣3m|=m,解方程4(m2﹣3m)=m得m1=0(舍去),m2=
,此时P点横坐标为
;解方程4(m2﹣3m)=﹣m得m1=0(舍去),m2=
,此时P点坐标为
;综上所述,点P的坐标为(
,
)或(
,
);(3)设
,当点Q′落在x轴上,延长QP交x轴于H,如图2,则PQ=4﹣(﹣m2 3m 4)=m2﹣3m,∵△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q',∴∠AQ′P=∠AQP=90°,AQ′=AQ=m,PQ′=PQ=m2﹣3m,∵∠AQ′O=∠Q′PH,∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,∴
,即
,解得Q′H=4m﹣12,∴OQ′=m﹣(4m﹣12)=12﹣3m,在Rt△AOQ′中,42 (12﹣3m)2=m2,整理得m2﹣9m 20=0,解得m1=4,m2=5,此时P点坐标为(4,0)或(5,﹣6);当点Q′落在y轴上,则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形,[详解]解:(1)当40≤x≤60时,设y与x之间的函数关系式为y=kx b,将(40,140),(60,120)代入得
,解得:
,∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x 180;当60
,∴y=﹣3x 300;综上所述,y=
;(2)当40≤x≤60时,W=(x﹣30)y=(x﹣30)(﹣x 180)=﹣x2 210x﹣5400,当60
=105,∴当40≤x≤60时,W随x的增大而增大,∴当x=60时,W最大=﹣602 210×60﹣5400=3600,当60
BP2的最小值.∴PQ=AQ′,即 |m2﹣3m|=m,解方程m2﹣3m=m得m1=0(舍去),m2=4,此时P点坐标为(4,0);解方程m2﹣3m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,6),综上所述,点P的坐标为(4,0)或(5,﹣6)或(2,6)
[点睛]本题考查了待定系数法,相似三角形的性质,解一元二次方程,三角形折叠,题目综合性较强,解决本题的关键是:①熟练掌握待定系数法求函数解析式;②能够熟练掌握相似三角形的判定和性质;③能够熟练掌握一元二次方程的解法;④理解折叠的性质.
