[简答题]向量a=(cosx+sinx，√2cosx)，b=(cosx-sinx，√2sinx)，f(x)=a·b．(1)求函数f(z)的单调区间；(2)若2x2-πx≤0，求函数f(x)的值域．
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发布时间：2025-07-16 22:09:02
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答案：(1)f(x)=a·b=(cosx+sinx，√2cosx)·(cosx-sinx，√2sinx)=cos2x+sin2x=sin (2x+π/4)． 由2kπ-π/2≤2x+4≤2kπ+π/2 (k∈Z)，解得kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8(k∈Z)． 由2kπ+π/2≤2x+4≤2kπ+3π/2(k∈Z)，解得Kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8(K∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ-3π/8，kπ+π/8](k∈Z)； 单调递减区间是[kπ+π/8+，kπ+5π/8](k∈Z)． (2)因为2x 2-πx≤0，所以0≤x≤π/2． 由(1)中所求单调区间可知，当0≤x≤ π/8时，f(x)单调递增； 当π/8≤x≤π/2时，f(x)单调递减． 又因为f(0)=1﹥f(π/2)=-1，所以-1=f(π/2)≤f(x)≤f(π/8)=√2．所以函数f(x)的值域为[-1，√2]．
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