已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则 |OM|的取值范围是________．
已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则 |OM|的取值范围是________．
发布时间：2024-11-16 15:02:01
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答案：(0,4)
解析 解法一：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，∵O为F1F2的中点，M为F1N的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||，对于椭圆＋＝1(a>b>0，xy≠0)，设点P的坐标为(x0，y0)(－a
解法三：如图，延长PF2，F1M交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||，又 |PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝|2|PF1|－10|＝||PF1|－5|，又 |PF1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM|∈(0,4)，故 |OM|的取值范围是(0,4)．
解析 解法一：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，∵O为F1F2的中点，M为F1N的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||，对于椭圆＋＝1(a>b>0，xy≠0)，设点P的坐标为(x0，y0)(－a解法三：如图，延长PF2，F1M交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||，又 |PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝|2|PF1|－10|＝||PF1|－5|，又 |PF1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM|∈(0,4)，故 |OM|的取值范围是(0,4)．
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