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（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ；（2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论；（3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．

发布时间：2025-03-30 15:12:03

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答案：（1）如图所示：．（2）PP'与BC的位置关系为：垂直．证明：∵BP' ∥ PA，CP' ∥ PD， ∴四边形PBP'C是平行四边形， ∵点P是矩形ABCD对角线的交点， ∴BP= 1 2 BD，CP= 1 2 AC，AC=BD，AC ∥ BD， ∴BP=CP， ∴四边形PBP'C是菱形， ∴PP'⊥BC．（3）证明：过点B作AP的平行线BP，过点C作PD的平行线交BP'于点P'，连接PP'，交BC于点M． ∴∠PAB ∠ABP'=180°，∠PDC ∠DCP'=180°，以PB、BP'、P'C、CP为边构成四边形，且以BC、PP'为对角线， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD ∥ BC，AD=BC，∠ABC=90°， ∴∠DAB ABC=180°，∠ADC ∠DCB=180°， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴△APD≌△BP'C（ASA）， ∴AP=BP' ∴四边形ABP'P是平行四边形． ∴AB ∥ PP'，AB=PP'AP=BP'，同理可证：PD=CP'， ∴∠PMC=∠ABC=90°， ∴PP'⊥BC于M， ∴以AP、BP、CP、DP为边能构成四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．