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如图，已知抛物线y=ax 2 bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a-b）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，已知抛物线y=ax 2 bx-3与x轴交于
A、B两点，与y轴交于C点，经过
A、
B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a-b）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、
A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

发布时间：2025-05-14 03:09:19

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答案：（1）由题意可知C（0，-3），， ∴抛物线的解析式为y=ax 2 -2ax-3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，， ∴CN=2，于是m=-1．同理可求得B（3，0）， ∴a×3 2 -2-2a×3-3=0，得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3；（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），D（0，1）， ∴在Rt△BCE中，，， ∴ ， ∴ ，即， ∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，因此sin（a-b）=sin（∠DBC-∠OBD） =sin∠OBC= ；（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P 1 （0，0），过A作AP 2 ⊥AC交y正半轴于P 2 ，由Rt△CAP 2 ∽Rt△BCE，得，过C作CP 3 ⊥AC交x正半轴于P 3 ，由Rt△P 3 CA∽Rt△BCE，得P 3 （9，0），故在坐标轴上存在三个点P 1 （0，0），P 2 （0，1∕3），P 3 （9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似。

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