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(14分)如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4).且经过点N(2,3).与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E,点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)直线CM与x轴交于点D,若∠DME=∠APE,求点P的坐标;(3)请探索:是否存在这样的点P,使∠ANB=2∠APE?若存在,求出点P的坐标;若不存在;请说明理由.https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/c2fdfc039245d6880bae58c4b4c27d1ed21b2426.jpg

(14分)如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4).且经过点N(2,3).与x轴交于
A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点
C、抛物线的对称轴与x轴交于点E,点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)直线CM与x轴交于点D,若∠DME=∠APE,求点P的坐标;(3)请探索:是否存在这样的点P,使∠ANB=2∠APE?若存在,求出点P的坐标;若不存在;请说明理由.https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/c2fdfc039245d6880bae58c4b4c27d1ed21b2426.jpg

发布时间：2025-05-17 11:55:47

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答案：解:(1)设抛物线为y=a(x﹣1)2 4,将点(2,3)代入得到a=﹣1∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2 4,∴y=﹣x2 2x 3.(2)如图1,令y=0,则﹣(x﹣1)2 4=0,∴x=﹣1或x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),∵C(0,3),M(1,4),∴直线CM的解析式为y=x 3,令y=0,则x 3=0,∴x=﹣3,∴D(﹣3,0),∵∠DEM=∠AEP=90°,∠DME=∠APE,∴△DEM∽△AEP,∴,∵A(﹣1,0),E(1,0),D(﹣3,0),M(1,4),∴DE=4,ME=4,AE=2,∴,∴PE=2,∴P(1,2)或(1,﹣2);(3)如图2,当点P在x轴上方时,连接BP,∵PE是抛物线的对称轴,∴∠APE=∠BPE,∵∠ANB=2∠APE,∴∠ANB=∠APB,∴点A,B,N,P四点共圆,∴设圆心F的坐标为(1,n),∴PF=AF=NF,∵A(﹣1,0),N(2,3),∴AF=,NF=,∴n 4=1 (3﹣n),∴n=1,∴F(1,1),PF=AF=,∴PE= 1,∴P(1,

1),当点P在x轴下方时,由对称知,P'(1,﹣

﹣1),即:点P的坐标为P(1, 1),或(1,﹣﹣1).

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