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如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A 和点C，与抛物线y=ax 2 ax b交于点B，其中点A（0，2），点B（-3，1），抛物线与y轴交点D（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A 和点C，与抛物线y=ax 2 ax b交于点B，其中点A（0，2），点B（-3，1），抛物线与y轴交点D（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

发布时间：2025-03-24 08:15:56

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答案：（1）将（-3，1），（0，-2）代入得： 1=9a-3a b -2=b 解得 a= 1 2 b=-2 ， ∴抛物线的解析式为： y= 1 2 x 2 1 2 x-2 ；（2）过B作BE⊥x轴于E，则E（-3，0），易证△BEC≌△COA， ∴BE=AO=2，EB=CO=1， ∴C（-1，0）；（3）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形过P作PF⊥x轴于F，易证△BEC≌△PFC， ∴CF=CE=2PF=BE=1， ∴P（1，-1），将（1，-1）代入抛物线的解析式满足；若∠CAP=90°，AC=AP，则四边形ABCP为平行四边形，过P作PG⊥x轴于G，易证△PGA≌△CEB， ∴PG=2AG=1， ∴P（2，1）在抛物线上， ∴存在P（1，-1），（2，1）满足条件．

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