如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为E，∠ABC＝45°，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H.求证：FG 2 ＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为E，∠ABC＝45°，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H.求证：FG 2 ＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.
发布时间：2025-03-12 00:48:52
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答案：见解析 因为AC⊥BD，故△AED、△BEC都是直角三角形． 又EF⊥AD，EG⊥BC， 由射影定理可知AF·DF＝EF 2 ， BG·CG＝EG 2 . 又FG 2 ＝(FE＋EG) 2 ＝FE 2 ＋EG 2 ＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC＝45°，如图，过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直，易知，AH＝ FE，BH＝ EG，故AH·BH＝2EF·EG.所以 FG 2 ＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.
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