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已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°﹣α．①用含α的代数式表示∠APC；②求证：∠BAP=∠PCB；③求∠PBC的度数．

发布时间：2025-02-26 19:46:18

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答案：①解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC， ∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC， ∵∠CAP ∠CPA ∠ACP=180°， ∴∠CPA=∠CAP=（180°﹣∠ACP）÷2=（60° α）÷2=30° ， ②证明：∵∠BAP=∠BAC﹣∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30° ， ∴∠BAP=∠BAC﹣∠CAP=α﹣（30° ）= ﹣30°， ∴∠BCA=∠ABC=（180﹣a）÷2=90°﹣ ， ∴∠PCB=∠BCA﹣∠ACP=90﹣ ﹣（120°﹣α）= ﹣30°， ∴∠BAP=∠PC， ③解：分别延长CP、AP交BC于F点，交AB于E点， ∵∠BAP=∠PCB， ∴∠PFB=∠PEB， ∴A，E，F，C四点共圆， ∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF， ∴BF=EF，EF=PF， ∴BF=PF ∴∠AFC=∠ABC ∠BAF=90°﹣ ﹣30°=60°， ∴∠PBC=∠BPF=30°．

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