如图，已知抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且 .点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作 ，射线ET交线段OB于点F. (1) 求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式； (2)求证： ； (3)当 为等腰三角形时，求此时点E的坐标； (4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.